第九節(jié)函數的連續(xù)性與間斷點

1、第二講：連續(xù)、導數、微分,1函數的連續(xù)性2 導數的概念3函數微分,(1),(2),(3),一、函數的連續(xù)性,1.函數的增量,,,,,,,,,,2.連續(xù)的定義,例1,證,由定義2知,3.單側連續(xù),,定理,,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,,4.連續(xù)函數與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數,叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數,或者說函數在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例如,,二、函數的間斷點,1.跳躍間斷點,,例4,解

2、,2.可去間斷點,,注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,解,例,如,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.,特點,,,3.第二類間斷點,,例6,解,例7,解,注意 不要以為函數的間斷點只是個別的幾個點.,例8,解,三、小結,1.函數在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數;,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,,(見下

3、圖),可去型,第一類間斷點,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點,閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質：一、最大值和最小值定理,定義:,例如,,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定有最大值和最小值.,,,,,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立; 2.若區(qū)間內有間斷點, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定在該區(qū)間上有界.,證,二、介值定理,定義:,,,,,,幾何解釋:,幾

4、何解釋:,,,,,,證,由零點定理,,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值 與最小值 之間的任何值.,例1,證,由零點定理,,例2,證,由零點定理,,三、小結,四個定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意　1．閉區(qū)間； 2．連續(xù)函數．這兩點不滿足上述定理不一定成立．,解題思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.輔助函數法:先作輔助函數F(x),再利用零點定理;,,,,如圖,,如果割線M

5、N繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.,極限位置即,2 導數的概念,二、導數的定義,定義,其它形式,即,★,★,關于導數的說明：,注意:,★,★,2.右導數:,單側導數,1.左導數:,★,★,★,三、由定義求導數,步驟:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,,例4,解,例5,解,例6,解,四、導數的幾何意義,,,,1.幾何意義,切線方程為,法線方程為,例7,解,由導數的幾何意義, 得切線斜率為,

6、所求切線方程為,法線方程為,五、可導與連續(xù)的關系,定理 凡可導函數都是連續(xù)函數.,證,例8,解,六、小結,1. 導數的實質: 增量比的極限;,3. 導數的幾何意義: 切線的斜率;,4. 函數可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;,5. 求導數最基本的方法: 由定義求導數.,6. 判斷可導性,,不連續(xù),一定不可導.,連續(xù),,直接用定義;,看左右導數是否存在且相等.,思考題,思考題解答,3 微分：問題的提出,實例:正方形金屬薄片受熱后面

7、積的改變量.,,,,,,,,,,,二、微分的定義,定義,(微分的實質),,,由定義知:,三、可微的條件,定理,證,(1) 必要性,(2) 充分性,,例1,解,,,微分的求法,求法: 計算函數的導數, 乘以自變量的微分.,1.基本初等函數的微分公式,2. 函數和、差、積、商的微分法則,例2,解,例3,解,六、微分形式的不變性,結論：,,,微分形式的不變性,例4,解,例3,解,例5,解,在下列等式左端的括號中填入適當的函數,使等式成立.,