均值不等式常見錯解及解決辦法

1、例析均值不等式常見錯解及解決辦法例析均值不等式常見錯解及解決辦法運用均值不等式（，當且僅當“”時取等號）是求解最2abab??abR?ab?值的一種常用方法，也是高考考查的重點內容之一筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，不少同學在使用時不能很好的抓住本質要求，造成了很多不該發(fā)生的錯誤本文就教學過程中的幾個典型問題舉例說明例1已知，求的最值01x??4lglgyxx??錯解錯解∵為定值，∴，4lg4lgxx??44lg2lg4lglgxxxx????∴的最

2、小值為44lglgyxx??錯解剖析錯解剖析雖然為定值，但是因為，，所以此時不能直接4lg4lgxx??01x??lg0x?應用均值不等式，需要將負數(shù)轉化為正數(shù)后再使用均值不等式正解正解∵，∴，，01x??lg0x?lg0x??∴，即，當且僅當即時等號成立，4(lg)4lgyxx??????4y??4lglgxx???1100x?∴的最大值為4lglgyxx??4?例2已知，求的最小值0x???2sinsinyxx??錯解錯解∵，∴，∴

3、，∴函數(shù)最小值為0x???sin0x?2sin22sinyxx???22錯解剖析錯解剖析本題雖有為定值2，但是不可能成立，所以等號成立2sinsinxx?2sinsinxx?前提下的最小值取不到而可以利用函數(shù)的單調性解決22正解正解設，則，sinxt?2ytt??((01])t?易證函數(shù)在上是減函數(shù)，∴即時，函數(shù)的最小值為32ytt??(01]t?1t?2x??例3已知求的最小值49001xyxy????xy?錯解錯解∵，∴222222

4、axaxbyby????222213222axbyaxby??????∴的最大值為axby?132錯解剖析錯解剖析取到最大值的前提是且，但是此時，即，132ax?by?2222abxy???49?顯然等號不能成立，所以本題不能直接運用均值不等式，但仍然可以用如下方法予以解決解法一解法一令，2cos2sin3cos3sinabxy????????∴，6coscos6sinsin6cos()axby???????????∴的最大值為6axb

5、y?解法二解法二令，由平面向量的數(shù)量積的性質，得()()mabnxy?????||||mnmn????????，當且僅當和同向，即時等號成立（注意：不能表示為），6axby??m??n?aybx?abxy?∴的最大值為6axby?解法三解法三由柯西不等式，可知2222211221212()()()mnmnmmnn????，22222()()()36axbyabxy?????即，∴的最大值為666axby????axby?可見，在應用均值