畢業(yè)論文對易關系的物理意義

1、<p>　　2010屆本科畢業(yè)論文</p><p>　　題目：對易關系的物理意義</p><p>　　學 院：物理與電子工程學院</p><p>　　專業(yè)班級： 物理實驗班</p><p><b>　　學生姓名：</b></p><p>　　指導教師： 教

2、授</p><p>　　答辯日期：2010年5月15日</p><p>　　新疆師范大學教務處 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2表示力學量的算符1</p><p>

3、;　　2.1算符的概念1</p><p>　　2.2 幾種算符1</p><p>　　3對易關系的一般概念2</p><p>　　4幾種對易關系式3</p><p>　　4.1坐標算符和動量算符的對易關系3</p><p>　　4.2動量算符的對易關系4</p><p>　　4.3角

4、動量算符的對易關系4</p><p>　　4.4角動量算符和動量算符的對易關系4</p><p>　　4.5角動量算符和坐標算符的對易關系5</p><p>　　4.6角動量算符和角動量平方算符的對易關系5</p><p>　　5 對易關系的物理意義5</p><p><b>　　6測不準關系5&

5、lt;/b></p><p>　　6.1 坐標和動量的測不準關系6</p><p>　　6.2 角動量的測不準關系7</p><p>　　6.3力學量完全集合7</p><p><b>　　7 結論7</b></p><p><b>　　參考文獻：9</b>&

6、lt;/p><p><b>　　對易關系的物理意義</b></p><p>　　摘要：本文由量子力學中的一些力學量的對易關系來描述對易關系對量子力學的重要意義，分別討論對易和不對易的情況來解釋是否有確定值的問題。</p><p>　　關鍵詞：算符； 對易關系；測不準關系</p><p><b>　　1 引言<

7、/b></p><p>　　1927年海森伯提出的測不準關系就是與人類的認識能力和其自身的地位有關的一條重要定律。測不準關系的發(fā)現可以稱之為認識論上的哥白尼革命 。 海森伯認為他提出的不確定原理是根本的,推翻它就不會有量子力學，不久就被證明可以從量子力學的基本原理及其相應的數學形式中把它推導出來。根據這個原理，微觀客體的任何一對互為共軛的物理量，如坐標和動量，都不可能同時具有確定值，即不可能對它們的測量結

8、果同時作出準確預言。測不準原理突破了經典物理學關于所有物理量原則上可以同時確定的觀念。量子物理學的歷史證明，它是歷史上最成功并為實驗真確檢驗了的一個理論。</p><p>　　我們知道，力學量用厄密算符表示是從經典力學到量子力學所引進的一個基本假設之一。如何保證使經典力學中的力學量成為量子力學中的厄密算符以及滿足相應的對易關系．通常我們就是直接利用對應原理由經典力學中力學量的表達式得到與其對應的量子力學中的算符。

9、本論文主要討論量子力學中的任意兩個算符對易的情況和不對易的情況，也就是說力學量在某一狀態(tài)中究竟有確定值還是沒有確定值，它是量子力學中比較典型的兩個問題。</p><p><b>　　2表示力學量的算符</b></p><p>　　由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子狀態(tài)的描述方式和經典粒子不同，它需要波函數來描寫。量子力學中微觀粒子力學量（如坐標，動量，角動量，能量等

10、）的性質也不同于經典粒子的力學量。經典粒子在任何狀態(tài)下它的力學量都有確定值。這種區(qū)別的存在，使得我們不得不用和經典力學不同的方式，即算符來表示微觀粒子力學量。</p><p><b>　　2.1算符的概念</b></p><p>　　量子力學與經典力學相比有兩個顯著的區(qū)別：一個是專門引入波函數描述體系的狀態(tài)，另一個是用算符表示力學量。</p><p

11、>　　算符是指作用在一個函數上得出另一個函數的運算符號。 </p><p><b>　　(2.1.1) </b></p><p>　　表示F把函數u變成 v，F就是這種變換的算符。</p><p><b>　　2.2 幾種算符</b></p><p>　　動量的算符：

12、 (2.2.1)</p><p>　　動量平方的算符: (2.2.2)</p><p>　　動能的算符: (2.2.3)</p><p>　　坐標的算符:

13、 (2.2.4)</p><p>　　勢能的算符: (2.2.5)</p><p>　　能量的算符: (2.2.6) </p><p>　　角動量算：

14、 (2.2.7) </p><p>　　3對易關系的一般概念</p><p>　　設有兩個算符和，如果把這兩個算符作用于同一個波函數，則所得結果決定于這兩個算符作用的順序。即任一個波函數，</p><p>　　一般 </p><p>　　如果 ，那么算符和是對易的， </p><

15、p><b>　　算符和是不對易的</b></p><p><b>　　把上式可以寫成</b></p><p>　　(3.1) 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

16、 (3.2)</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　4幾種對易關系式</b></p><p>　　4.1坐標算符和動量算符的對易關系</p><p>　　如果把坐標算符和動量算符作用于同一個波函數 </p><p>　　

17、即對于任一波函數 ，有 </p><p>　　這兩個結果并不相同，且 </p><p>　　由于是任意的波函，把上式可以寫成為</p><p><b>　　(4.1.1)</b></p><p>　　(4.1.1)式成為和的對易關系式</p><p><b>　　同理

18、可以得到</b></p><p><b>　　(4.1.2)</b></p><p><b>　　(4.1.3)</b></p><p>　　所以得出 (4.1.4)</p><p>　　同理可以得到 </p><p>　　4.2動量

19、算符的對易關系</p><p><b>　　(4.2.1) </b></p><p>　　同理可得； (4.2.2) </p><p><b>　　(4.2.3) </b></p><p>　　4.3角動量算符的對易關系</p><p><b>

20、　　(4.3.1) </b></p><p>　　同理可得： 4.3.2) </p><p>　　可以推出 </p><p>　　4.4角動量算符和動量算符的對易關系</p><p><b>　　(4.4.1) </b></p><p

21、>　　來討論角動量算符和動量算符的對易關系</p><p><b>　　同理可得</b></p><p><b>　　(4.4.2) </b></p><p>　　4.5角動量算符和坐標算符的對易關系</p><p><b>　?。?.5.1）</b></p>

22、<p><b>　?。?.5.2）</b></p><p>　　4.6角動量算符和角動量平方算符的對易關系</p><p><b>　　(4.6.1)</b></p><p><b>　　（4.6.2）</b></p><p>　　5 對易關系的物理意義</

23、p><p>　　若兩個力學量算符有一組共同完備的本征函數系，則這兩個算符是對易的。</p><p><b>　　設 </b></p><p>　　和依次是和的本征值，由于 組成完備系，所以任意</p><p>　　態(tài)函數 (x) 可以按展開： </p><p><b>　　則 &l

24、t;/b></p><p>　　因為 (x) 是任意函數</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　6測不準關系</b></p><p>　　測不準關系也叫測不準原理，它是Heisenberg量子力學距陣表述的基本原理。根據這個原理，微觀客體的任何一對互為

25、共軛的物理量，如坐標和動量，都不可能同時具有確定值，即不可能對它們的測量結果同時作出準確預言。</p><p>　　只要在經典力學中引進測不準關系，經典力學便從根本上改變了量子力學。在經典物理學中宏觀物體的位置和動量是可以同時準確測定的。</p><p>　　測不準關系是微觀粒子具有波粒二象形的必然結果。只要微觀粒子具有波粒二象形，就必然導致測不準關系。因此，并不是我們測量儀器不精密，或者

26、說測量儀器“干擾了粒子有序的經典運動出現了測不準，而是微觀世界的客觀規(guī)律本身就是如此。測不準是一種客觀存在，靠改進儀器和測量手段是不可能消除測不準關系所加的限制的。</p><p>　　若兩個算符對易則同時有確定值；若不對易，一般來說，不存在共同本征函數，不能同時具有確定值。</p><p>　　兩個不對易算符所對應的力學量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？</p&

27、gt;<p>　　6.1 坐標和動量的測不準關系</p><p>　　測不準關系 （6.1.1） </p><p><b>　　（6.1.2）</b></p><p>　　表明：坐標與動量的偏差不能同時為零，其一越小，另一就越大</p><p&

28、gt;<b>　　經典理論概念；</b></p><p>　　一個粒子的位置和動量可以同時精確的測定</p><p><b>　　量子理論的概念；</b></p><p>　　要同時測出微粒的位置和動量，其精密度有一定的限制</p><p><b>　　精密度的極限為</b>

29、</p><p>　　測不準關系 </p><p>　　能量和時間的測不準關系 （6.1.4）</p><p>　　相對論性能量為 </p><p>　　測不準關系是普遍原理，是物質的客觀規(guī)

30、律不是測量技術和主管能力的問題是波粒二象性的必然結果。</p><p>　　6.2 角動量的測不準關系 </p><p><b>　　(6.2.1) </b></p><p>　　6.3力學量完全集合</p><p>　　為完全確定狀態(tài)所需要的一組相互對易的力學量算符的本征值的最小數目稱為力學量完全集合。有些情況[5]下

31、力學量本征值是全部簡并或部分簡并的，一個本征值對應若干個本征函數。所以，只以的本征值不足以完全確定波函數。這時必定存在和獨立而又和對易的其它力學量算符。如果、的共同本征函數仍然有簡并，則必定還存在獨立于 而又和、均對易的其它力學量算符，,而又均對易的其它力學量算符,,,的共同本征函數是否還有簡并? 一組相互對易而又相互獨立的力學量算符，如果它們的共同本征函數系是非簡并的，即這一組本征值完壘確定一個共同本征函數，剛這組力學量稱為力學量完全

32、集。完全集中力學量的數目一般稱為體系的自由度。</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　7 結論</b></p><p>　　本文講了算符，算符和算符之間的對易關系和測不準關系，對易關系的物理意義，對易關系和測不準關系的證明。通過這種內容我們可以得到算符之間的關系對易關系和不對易關系，如果算符

33、對易則同時有確定值；若不對易，不存在共同本征函數，不能同時具有確定值。那么，必然導致有些力學量不能同時確定。</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　曾瑾言 量子力學 卷Ⅰ [M]. 北京：，2007.</p><p>　　曾

34、瑾言 量子力學教程 [M]. 北京：科學出版社，2004.</p><p>　　鵬程量子力學 [M]. 北京：高等教育出版社，2003.</p><p>　　周世勛量子力學教程 [M]. 北京：高等教育出版社，2005.</p><p>　　曾心愉,宋宇辰,裴文杰 《量子力學》自學輔導之六力學量算符之間的關系 [j] 大學物理, 1