數(shù)學史概論[1].11

1、第11講: 繁花似錦—20世紀數(shù)學鳥瞰之一： 純粹數(shù)學的擴展---特點與趨勢,20世紀純粹數(shù)學的發(fā)展主要表現(xiàn)出如下的主要特征或趨勢：（1）更高的抽象性；（2）更強的統(tǒng)一性；（3）更深入的基礎探討。,一、新世紀的序幕,希爾伯特:《數(shù)學問題》 “我們當中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看今后的世紀里我們這門科學發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要思潮將追求什么樣的特殊目標？在廣闊而豐富的數(shù)學

2、思想領域，新世紀將會帶來什么樣的新方法和新成果？”,希爾伯特23個數(shù)學問題及其解決簡況：,1. 康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。 1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基數(shù)之間沒有別 的基數(shù), 即著名的連續(xù)統(tǒng)假設. 1938年, 僑居美國的奧地利 數(shù)理邏輯學家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF集合論公理系統(tǒng) 的無矛盾性. 1963年,美國數(shù)學家柯恩證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF公 理彼此獨立. 因而, 連續(xù)

3、統(tǒng)假設不能用ZF公理加以證明. 在 這個意義下, 問題已獲解決.2. 算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。 歐氏幾何的無矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無矛盾性。希 爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德 爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。,3. 只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是 不可能的. 問題的意思是：存在兩個登高等底的四面體, 它 們不可能分解

4、為有限個小四面體, 使這兩組四面體彼此全等. 德恩(M.Dehn)1900年已解決。,4. 兩點間以直線為距離最短線問題。 此問題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某 些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學家波格列洛夫宣布，在對稱 距離情況下，問題獲解決。5. 連續(xù)群的解析性。 即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年由格利森、 蒙哥馬利、席平共同解決。1953

5、年日本的山邁英彥已得到完 全肯定的結(jié)果。,6. 對數(shù)學起重要作用的物理學的公理化(物理公理的數(shù)學處理)。 1933年蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收摴砘?。后來?在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支 能否全盤公理化，很多人有懷疑。7. 某些數(shù)的超越性的證明。 需證：如果 是代數(shù)數(shù)， 是無理數(shù)，那么 一定是超 越數(shù)或至少是無理

6、數(shù)。1934年蘇聯(lián)的蓋爾豐德、德國的施奈 德及1935年西格爾分別獨立地證明了其正確性。但超越數(shù)理 論還遠未完成。目前,確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無統(tǒng)一的 方法。,8. 素數(shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素數(shù) 問題。,希爾伯特在此提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孿生素數(shù)問 題. 黎曼猜想至今未解決. 哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)問題目前 也未最終解決, 其最佳結(jié)果均屬中國數(shù)學家陳景潤.,9.

7、 一般互反律在任意數(shù)域中的證明。 1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷各自給以 基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。10. 能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解(丟 番圖問題可解性判定)？ 求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖方程可解。 1950年前后，美國數(shù)學家戴維斯、普特南、羅賓遜等取得關 鍵性突破。1970年巴克爾、費羅斯對含兩個

8、未知數(shù)的方程取 得肯定結(jié)論。1970年蘇聯(lián)數(shù)學家馬蒂舍維奇最終證明：在一 般情況答案是否定的。盡管得出否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系 列很有價值的副產(chǎn)品，其中不少和計算機科學有密切聯(lián)系。,11. 一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。 德國數(shù)學家哈塞(1929)和西格爾(1936, 1951)獲重要結(jié)果。 60年代，法國數(shù)學家韋依(A.Weil)取得了新進展。,12. 類域的構(gòu)成問題。 即將阿

9、貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域 上去。此問題僅有一些零星結(jié)果，離徹底解決還很遠。13. 一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性 七次方程 x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數(shù) a , b , c； x= x (a , b , c),這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？此問題 已接近解決. 連續(xù)函數(shù)情形, 1957年已由蘇聯(lián)數(shù)學家阿諾解決.

10、1964年，維土斯金推廣到連續(xù)可微情形，對解析函數(shù)情形則 未解決。14. 證明某類完備函數(shù)系的有限性。 這個與代數(shù)不變量問題有關的問題，1959年日本數(shù)學家永田 雅宜用漂亮的反例給出了否定的解決。,15. 建立代數(shù)幾何學的基礎。 荷蘭數(shù)學家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已 解決。15. 注：舒伯特(Schubert)計數(shù)演算的嚴格基礎。 一

11、個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾 條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的 解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎?，F(xiàn) 在已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學有密切的關 系。但嚴格的基礎至今仍未建立。,16. 代數(shù)曲線和曲面的拓撲研究。 此問題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目.后半部要求討論備 dy/dx=Y/X 的極限環(huán)的最多個數(shù) N

12、(n) 和相對位置, 其中X,Y是 x ,y 的 n 次多項式. 對 n =2 (即二次系統(tǒng))的情況, 1934年福羅獻爾得到 ;1952年鮑廷得到 ;1955年蘇聯(lián)的彼得洛夫斯基宣布 , 這個曾震動一時的結(jié)果,由于其中的若干引理被否定而成疑問. 關于相對位置, 中國數(shù)學家董金柱、葉彥謙1957年證明了不超過兩串. 1957年, 中國數(shù)學家秦元勛和蒲富金具

13、體給出了 n＝2 的方程具有至少3個成串極限環(huán)的實例. 1978年, 中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指導下,與王明淑分別舉出至少有4個極限環(huán)的具體例子. 1983年, 秦元勛進一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個極限環(huán), 并且是 (1,3) 結(jié)構(gòu),從而最終地解決了二次微分方程的解的結(jié)構(gòu)問題, 并為研究希爾伯特第(16)問題提供了新的途徑.,17. 半正定形式的平方和表示。 1926年阿廷已肯定地解決。 用全等多面體構(gòu)造空間。

14、 德國數(shù)學家比貝爾巴赫1910年, 萊因哈特1928年作出部分解 決.19. 正則變分問題的解是否總是解析函數(shù)？ 德國數(shù)學家伯恩斯坦(1929)和蘇聯(lián)數(shù)學家彼德羅夫斯基(1939) 已解決。20. 研究一般邊值問題。 此問題進展迅速, 己成為一個很大的數(shù)學分支. 日前還在繼續(xù) 發(fā)展。21. 具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在

15、 性證明。 此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。1989年前蘇聯(lián)數(shù)學 家鮑里布魯克給出了反例，使該問題最終被否定解決。,22. 用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化。 此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年寇伯對一個變量 情形已解決而使問題的研究獲重要突破. 其它方面尚未解決.23. 發(fā)展變分學方法的研究。 這不是一個明確的數(shù)學問題. 20世紀變分法有了很大發(fā)展.,希爾伯特問題中

16、近一半已經(jīng)解決或基本解決, 有些問題雖未最后解決, 但也取得了重要進展. 希爾伯特問題的解決與研究, 大大推動了數(shù)理邏輯、幾何基礎、李群論、數(shù)學物理、概率論、數(shù)論、函數(shù)論、代數(shù)幾何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面論、變分法等一系列數(shù)學分支的發(fā)展, 有些問題的研究還促進了現(xiàn)代計算機理論的成長. 希爾伯特問題未能包括拓撲學、微分幾何等在20世紀成為前沿學科的領域中的數(shù)學問題, 除數(shù)學物理外很少涉及應用數(shù)學, 等等. 20世紀數(shù)學的發(fā)展,

17、遠遠超出了希爾伯特問題所預示的范圍.,二、更高的抽象,實變函數(shù)與泛函分析 抽象代數(shù) 拓撲學 公理化概率論,1. 實變函數(shù)與泛函分析,狄利克雷函數(shù)：,勒貝格：《積分、長度和面積》 1902 利用以集合論為基礎的“測度”概念建立了所謂“勒貝格積分” ： 將函數(shù) y = f (x) 在區(qū)間 [a,b] 上的值的下確界 A 與上確界 B 之間的線段分成 n 個小區(qū)間 y0y1, y1y2, …,yn-1yn , 其中

18、y0=A, yn=B ,對每個這樣的分割作勒貝格積分和：其中 表示滿足 的所有點 x 的集合( ei )的測度,當 時, 勒貝格積分和 S 的極限就定義為勒貝格積分.,勒貝格的“測度”概念是通常的“長度”概念對任意集合情況的推廣. 勒貝格積分使一些原先在黎曼積分定義下不可積的函數(shù)按勒貝格的意義變得可積.

19、 在勒貝格積分的基礎上, 可以進一步推廣導數(shù)等其它微積分基本概念, 并重建微積分基本定理等微積分的基本事實. 從而形成了一門新的數(shù)學分支, 實變函數(shù)論. 實變函數(shù)論是普通微積分的推廣, 它使微積分的適用范圍大大擴展, 引起數(shù)學分析的深刻變化.,泛函分析,來源之一：變分法 泛函的抽象理論在19世紀末20世紀初首先由意大利數(shù)學家 伏爾泰拉和法國數(shù)學家阿達馬在變分法的研究中開創(chuàng)。來源之二：積分方程理論 希

20、爾伯特通過嚴密的極限過程將有限線性代數(shù)方程組的結(jié) 果有效地類比推廣到積分方程。正是在這一過程中, 他引 進了無窮實數(shù)組,的全體組成的集合(后記為 l 2 )(其中任一數(shù)組諸分量的平方和 都是有限數(shù)), 并在任意兩數(shù)組 { an }= a 和 { bn }=b 之間定義了一種叫做內(nèi)積的運算, 用 (a , b) 表示：,(簡記為 {an } 或 a ),1907年匈牙利數(shù)學家里斯和德國數(shù)學家費

21、舍爾幾乎同時建立了在區(qū)間 [a ,b] 上全體平方(勒貝格)可積函數(shù) f (x) 的集合[ L2(a ,b) ]與平方可積數(shù)組 l 2 之間的等價關系，稱為里斯--費舍爾定理，這一結(jié)論使得一個平方可積函數(shù)可以看作是無窮維空間[ L2(a ,b) ]中的一個點。粗略地說, 泛函分析就是建立在這種抽象函數(shù)空間上的微積分。 泛函分析的建立體現(xiàn)了20世紀在集合論影響下空間和函數(shù)這兩個基本概念的進一步變革。“空間”僅僅是具有某種結(jié)

22、構(gòu)的集合，而“函數(shù)”的概念則被推廣為兩空間之間的元素對應關系。其中將函數(shù)映射為實數(shù)(或復數(shù))的對應關系就是通常所稱的“泛函”。,弗雷歇:《關于泛函演算若干問題》 在將普通的微積分演算推廣到函數(shù)空間方面做了大量先驅(qū)性工作，可以說是本世紀抽象泛函分析理論的奠基人之一。,巴拿赫: 提出了比希爾伯特空間更一般的賦范空間(后稱巴拿赫空間)概念，用與角度概念無關的“范數(shù)”替代內(nèi)積而定義距離及收斂性，極大地拓廣了泛函分析的疆域。巴拿赫建立巴拿赫空間上

23、的線性算子理論，證明許多基礎性的重要定理，成為現(xiàn)代泛函分析的又一奠基人。,廣義函數(shù)論的建立:,狄拉克函數(shù):,1945年，法國數(shù)學家施瓦茨將這些函數(shù)解釋為函數(shù)空間上的連續(xù)線性泛函即廣義函數(shù)，使它們有了嚴格的數(shù)學基礎。廣義函數(shù)標志著函數(shù)概念發(fā)展史上的一個新階段。施瓦茨稱廣義函數(shù)為“分布”，因此廣義函數(shù)論也叫“分布論”。,2. 抽象代數(shù),諾特: 《環(huán)中的理想論》 1921 諾特用公理化方法發(fā)展了一般理想論,奠定了抽象交換環(huán)理論的基礎.由

24、于對概念準確的抽象及表述,使諾特的理論帶有令人驚嘆的一般性.該論文因之成為抽象交換代數(shù)的典范.隨后,諾特又以一種新的統(tǒng)一的純粹概念的方式,逐步建立了非交換代數(shù)及其表示理論.1932年與布勞爾、哈塞合作證明的所謂“代數(shù)主定理”,是代數(shù)發(fā)展史上的一個重大轉(zhuǎn)折. 抽象代數(shù)使代數(shù)結(jié)構(gòu)成為代數(shù)學研究的中心.代數(shù)結(jié)構(gòu)是由集合以及集合元素之間的一個或幾個二元合成運算組成.在這里,集合的元素是抽象的,不事先賦予其具體涵義;運算也是通過公理來規(guī)定的

25、.正因如此,抽象代數(shù)的研究具有極大的一般性并能演繹出無比豐富的內(nèi)容.,布爾巴基學派: 正是受抽象代數(shù)思想的啟示提出了一般的數(shù)學結(jié)構(gòu)觀點.范德瓦爾登的《近世代數(shù)學》是他們工作的第一個范本.除了代數(shù)結(jié)構(gòu),布爾巴基學派還明確了另外兩類結(jié)構(gòu)--“拓撲結(jié)構(gòu)”和“序結(jié)構(gòu)”,并將它們與代數(shù)結(jié)構(gòu)合稱為“母結(jié)構(gòu)”.以這三類結(jié)構(gòu)為基礎,通過它們的交叉、結(jié)合而產(chǎn)生出各種層次的新結(jié)構(gòu). 布爾巴基學派認為,數(shù)學就是“數(shù)學結(jié)構(gòu)的倉庫”.結(jié)構(gòu)的觀點可以

26、說比公理化方法更上一層樓.它導致了對數(shù)學中更一般的抽象結(jié)構(gòu)的研究. 如1945年麥克萊恩和艾倫伯格提出的“范疇”結(jié)構(gòu)等,已成為一個在數(shù)學中發(fā)揮著統(tǒng)一作用的概念.,3. 拓撲學,拓撲學研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)。 哥尼斯堡七橋問題和地圖四色問題 麥比烏斯曾研究過四色問題.于1858年發(fā)現(xiàn)的單側(cè)曲面,即麥比烏斯帶.是拓撲學中一個很有趣的問題.,龐加萊：《位置分析》 1895-1905年 龐加萊將幾何圖形剖分成

27、有限個相互連接的基本片,并用代數(shù)組合的方法研究其性質(zhì).用這樣的觀點加以研究的拓撲學叫做組合拓撲學.龐加萊定義了高維流形、同胚、同調(diào),引進了一系列拓撲不變量,首次建立了龐加萊對偶定理,提出了龐加萊猜想.,霍普夫：1928年定義了同調(diào)群，科爾莫戈洛夫和亞歷山大：1940年左右又定義了上同調(diào)群。 同調(diào)群，包括與之對偶的上同調(diào)群的引進將拓撲問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題。同調(diào)論提供了拓撲學中易于計算的、常用的不變量。 從拓撲到代數(shù)過渡的

28、另一條途徑是同倫理論。同倫論的奠基人是胡勒維茨,他在1935-1936年間引進了 n 維同倫群概念.同調(diào)論與同倫論一起推動組合拓撲學逐步演變成主要利用抽象代數(shù)方法的代數(shù)拓撲學.1942年,美國數(shù)學家萊夫謝茨《代數(shù)拓撲學》一書的出版,標志著代數(shù)拓撲學這一分支學科的正式形成.同調(diào)論與同倫論,始終是這一學科的兩大支柱.,點集拓撲學或一般拓撲學,1941年德國數(shù)學家豪斯道夫發(fā)表的《集合論基礎》,以“鄰域”概念出發(fā),標志著點集拓撲學的正式誕生.

29、 隨后波蘭學派和前蘇聯(lián)學派對拓撲空間的性質(zhì)(緊致性、可分性、連通性等)進行了深入考察. 20世紀30年代中期起,法國布爾巴基學派的系統(tǒng)研究更使一般拓撲學趨于成熟,成為第二次世界大戰(zhàn)后數(shù)學的基礎學科.,4. 公理化概率論,博奕問題： “賭博提前結(jié)束后，如何分配賭金” ?；莞梗骸墩撡€博中的計算》 1657年雅各布·伯努利：《猜度術(shù)》 1713 首次提出 “伯努利定理” ：若在一系列獨立試驗中，事件

30、 A 發(fā)生的概率為常數(shù)且等于 p , 那么對 以及充分 大的實驗次數(shù) n , 有,為任意小正數(shù),其中 m 為 n 次試驗中事件 A 出現(xiàn)的次數(shù)。,棣莫弗、蒲豐、拉普拉斯、高斯和泊松等對概率論作出了進一步的奠基性貢獻.棣莫弗(1733)和高斯(1809)各自獨立引進了正態(tài)分布;蒲豐提出了投針問題和幾何概率(1777);泊松陳述了泊松大數(shù)定律(1837)等等.拉普拉斯1812年出版的《概率的

31、分析理論》,以強有力的分析工具處理概率論的基本內(nèi)容,使以往零散的結(jié)果系統(tǒng)化.拉普拉斯的著作實現(xiàn)了從組合技巧向分析方法的過渡,開辟了概率論發(fā)展的新時期.正是在這部著作中,拉普拉斯給出了概率的古典定義. 19世紀后期,極限理論的發(fā)展成為概率論研究的中心課題.切比雪夫在1866年建立了關于獨立隨機變量序列的大數(shù)定律,使伯努利定理和泊松大數(shù)定律成為其特例.切比雪夫還將棣莫弗-拉普拉斯極限定理推廣為更一般的中心極限定理.切比雪夫的成果后又被

32、他的學生馬爾可夫等發(fā)揚光大,影響了20世紀概率論發(fā)展的進程.,貝特朗悖論：,在半徑為 r 的圓內(nèi)隨機選擇弦，計算弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率。 根據(jù)“隨機選擇”的不同意義，可以得到不同的答案： （1）考慮與某確定方向平行的弦，則所求概率為1/2； （2）考慮從圓上某固定點P引出的弦，則所求概率為1/3。 （3）隨機的意義理解為：弦的中點落在圓的某個部分的概率與該部分的面積成正比，則所

33、求概率為1/4。,,,,,,,,,,,,,,o,,,,,,,600,,600,,600,,,,,,,,,,,,,(1),(2),(3),博雷爾：1905年指出概率論理論如果采用測度論術(shù)語來表述將會方便許多。首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究，1909年提出并解決了隨機變量序列服從強大數(shù)定律的條件問題。,科爾莫戈洛夫： 1926年推導了弱大數(shù)定律成立的充分必要條件后,又對博雷爾提出的強大數(shù)定律問題給出了最一般結(jié)果.在所有這些研

34、究中,與可測函數(shù)論的類比起著極重要的作用.大數(shù)定律是概率論的中心課題之一,它的解決標志著測度論與可測函數(shù)論在概率論研究中的有力滲透,成為以測度論為基礎的概率論公理化的前奏. 從20世紀20年代中期起,科爾莫戈洛夫開始從測度論途徑探討整個概率論理論的嚴格表述,并于1933年發(fā)表了經(jīng)典性著作《概率論基礎》,通過廣泛類比(如集合測度與事件概率的類比、積分與數(shù)學期望的類比、函數(shù)正交性與隨機變量獨立性的類比等等),為概率論建立起了嚴格的公理

35、化體系(科爾莫戈羅夫提出了6個公理,整個概率論大廈可以從這6條公理出發(fā)建筑起來),從而賦予概率論以演繹數(shù)學的特征,使其取得了與其他數(shù)學分支同等的地位,并通過集合論與其他數(shù)學分支密切地聯(lián)系著.,隨機過程：萊維、辛欽、杜布和伊藤清等,萊維：1948年出版《隨機過程與布朗運動》，提出了獨立增 量過程的一般理論，并以其為基礎極大地推進了對作為一 類特殊馬爾可夫過程的布朗運動的研究。辛欽：1934提出年平穩(wěn)過程的相關理論

36、.杜布：鞅論的奠基人。他從1950年開始對鞅概念進行了系統(tǒng) 的研究而使鞅論成為一門獨立的分支。鞅論使隨機過程的 研究進一步抽象化，不僅豐富了概率論的內(nèi)容，而且為其 他數(shù)學分支如調(diào)和分析、復變函數(shù)等提供了有力的工具。伊藤清：引進了隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了隨機 過程研究的新道路，而且為一門意義深遠的數(shù)學新分支， 隨機分析的創(chuàng)立與發(fā)展奠定了基礎。,三、數(shù)學的統(tǒng)一化,微分

37、拓撲與代數(shù)拓撲 整體微分幾何 其他學科的融合,惠特尼： 1936年發(fā)表《微分流形》，給出了微分流形的一般定義， 并證明了任何微分流形總可以嵌入到高維歐幾里得空間作為 光滑子流形。1937年他又引進了重要的基本概念“纖維叢”， 并定義了作為纖維叢結(jié)構(gòu)的基本不變量的惠特尼示性類?；?特尼示性類的定義涉及上同調(diào)類，因而使微分拓撲與代數(shù)拓 撲緊密地聯(lián)系起來。事實上，微分拓撲學中廣泛地使用

38、著與 同調(diào)、同倫等有關的代數(shù)拓撲方法。反過來，代數(shù)拓撲學又 受到了微分拓撲學的推動。纖維叢由于其局部線性的特性而 成為代數(shù)拓撲學中同調(diào)與上同調(diào)計算的便利工具。微分拓撲 學中研究微分映射奇點性質(zhì)的分支叫奇點理論，它也是由惠 特尼所開創(chuàng)。,1. 微分拓撲與代數(shù)拓撲,托姆： 1956年發(fā)表《可微映射的奇點》，成為以后整個奇點理論 發(fā)展的綱領。1969年，托姆在奇點分類基礎上提出了一個

39、 描述突變現(xiàn)象的數(shù)學模型，以后又在《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與形態(tài)發(fā) 生》(1972) 中系統(tǒng)論述了這方面的思想，從而又形成了一 門新的分支，突變理論。,米爾諾：1956年在七維球面上找到了28種不同的微分結(jié)構(gòu)。 這種七維流形也稱為“米爾諾怪球” 。,4維歐幾里得空間： 1980年以前，數(shù)學家們已經(jīng)證明除4維外，所有的歐幾里 得空間都只具有一種微分結(jié)構(gòu)。唐納爾遜證明了1982年在

40、 4維歐幾里得空間上存在著與通常不同的微分結(jié)構(gòu)。不久 又有人證明了在4維歐幾里得空間上可以有無窮多種微分 結(jié)構(gòu)，通常的微分結(jié)構(gòu)只不過是其中之一。,2. 整體微分幾何,里奇：19世紀末里奇發(fā)展了黎曼關于微分形式不變量的研究， 開創(chuàng)了所謂“絕對微分學”即現(xiàn)在的張量分析，系統(tǒng)地研究黎 曼度量在坐標交換之下的不變性質(zhì)。列維-奇維塔：1917年引進“列維-奇維塔”平移，將歐幾里得空

41、 間的平行概念推廣到彎曲空間，使黎曼幾何具有了明顯的 幾何意義。外爾：1918年發(fā)現(xiàn)平行性與空間的度量性質(zhì)無關，建立了所謂 的仿射聯(lián)絡，從而獲得了更廣泛的幾何理論。嘉當：1920年以后發(fā)展了一般的聯(lián)絡理論與活動標架法?；羝辗颍?925年注意到黎曼空間微分幾何結(jié)構(gòu)與拓撲結(jié)構(gòu)間的 某種關系時，微分幾何開始經(jīng)歷從局部到整體的轉(zhuǎn)移。其中 奠基性的工作來自于陳省身對高斯-博內(nèi)公式的內(nèi)蘊證明。,高斯

42、-博內(nèi)公式聯(lián)系著黎曼流形的整體拓撲不變量(歐拉示 性數(shù))與微分幾何不變量(高斯曲率)，大范圍微分幾何的許 多工作都需要圍繞它進行展開。陳省身：1944年借助內(nèi)蘊叢的概念，將其推廣到高維緊致黎 曼流形. 這種內(nèi)蘊證明像一把鑰匙, 打開了纖維叢及其示 性類進入微分幾何的大門。 由于纖維叢的概念反映了流形固有的拓撲性質(zhì)，故而提供了微分幾何研究從局部向整體過渡的合適機制。示性

43、類作為聯(lián)系微分幾何與代數(shù)拓撲的基本不變量，幾乎主導了20世紀后半葉微分幾何的發(fā)展。,3. 其他學科的融合,代數(shù)幾何：原來是伴隨解析幾何發(fā)展起來的以歐幾里得空間 中的曲線和曲面為對象的分支，后來演變?yōu)檠芯咳舾纱鷶?shù) 方程的公共零點集(即代數(shù)簇)的幾何性質(zhì)。隨著抽象代數(shù) 方法的引入，1946年，(韋依)出現(xiàn)了抽象域上的代數(shù)幾何 理論，以后代數(shù)幾何的發(fā)展便與代數(shù)拓撲、多復變函數(shù)、 抽象代數(shù)、微分

44、幾何等交織在一起，并取得了重大的進 展。不久，概型的概念進入代數(shù)幾何。它不僅統(tǒng)一了代數(shù) 幾何本身的各種理論與結(jié)果，而且使代數(shù)幾何與代數(shù)數(shù)論 的研究統(tǒng)一到共同的語言下，形成了所謂的“算術(shù)代數(shù)幾 何”，1994年維爾斯證明費馬大定理的工作，即屬于此。,多復變函數(shù)論：是單復變函數(shù)論的自然推廣，但因其相對復 雜性故而進展緩慢。50年代以后，由于綜合運用拓撲學、 微分幾何、偏微分方程論以及抽

45、象代數(shù)等領域的概念與方 法，才取得了長足的進步。中國數(shù)學家華羅庚1953年建 立了多個復變數(shù)典型域上的調(diào)和分析理論，并揭示了其與 微分幾何、群的表示論、微分方程、群上調(diào)和分析等領域 的深刻聯(lián)系，形成了中國數(shù)學家在多復變函數(shù)論研究方面 的特色。,動力系統(tǒng)理論：出發(fā)點來源于常微分方程定性理論的一系列課 題，美國數(shù)學家伯克霍夫以三體問題為背景，首先擴展了動 力系統(tǒng)的研究。1937年龐特里亞金

46、提出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念， 要求在微小擾動下保持相圖不變，使得動力系統(tǒng)的研究向大 范圍轉(zhuǎn)移。由于拓撲方法與分析方法的有力結(jié)合使得動力系 統(tǒng)的研究取得了重大進步，借助于計算機模擬又引發(fā)了具有 異常復雜性的混沌、分岔、分形理論。 1925年,莫爾斯推廣伯克霍夫動力系統(tǒng)中極小極大原理，得 到莫爾斯不等式，并進一步發(fā)展成莫爾斯理論(即討論微分 流形上可微函數(shù) f 的臨界點的理論)。莫爾斯理論應用于變分

47、 問題就得到大范圍變分法。它們與微分拓撲學一起構(gòu)成一個 相互交叉、相互影響的學科群。,四、對基礎的深入探討,羅素的悖論：以 M 表示是其自身成員的集 合的集合， N 表示不是其自身成員的集 合的集合。問：集合 N 是否為它自身的 成員？如果 N 是它自身的成員，則 N 屬 于 M 而不屬于 N ，也就是說 N 不是它 自身的成員；另一方面，如果 N 不是它 自身的成員，則 N

48、屬于 N 而不屬于 M ，也就是說 N 是它自身的成員. 那么 集合 N 無論是否為它自身的成員，都將 導出矛盾的結(jié)論。,羅素,羅素本人認為這類悖論的產(chǎn)生是由于一個待定義對象使用了包含該對象在內(nèi)的一類對象來定義,即“非直謂定義”.不久,德國數(shù)學家策梅洛等人進一步指出分析中一些基本概念的定義都屬于非直謂定義,因此不僅集合論,而且整個經(jīng)典分析都包含著悖論.羅素與策梅洛的發(fā)現(xiàn),再次觸及數(shù)學的根基,使本已看似嚴格的

49、數(shù)學基礎再次陷入了危機(數(shù)學史上的第三次危機). 為了消除這種悖論，數(shù)學家們首先想到了公理化思想,由此引發(fā)了一場集合論公理化運動.第一個集合論公理系統(tǒng)是1908年由策梅洛提出的,后又經(jīng)以色列數(shù)學家弗蘭克爾改進,形成了今天常用的策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng).它保留了康托爾集合論中對于開展全部經(jīng)典分析所需要的主要內(nèi)容,又避免了羅素悖論的發(fā)生.但策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng)的相容性尚未證明.對此,龐加萊形象地評論道:“為了防狼,羊群已經(jīng)用籬笆

50、圈起來了,但卻不知道圈內(nèi)還有沒有狼”.,邏輯主義： 1903年,羅素發(fā)表的《數(shù)學的原理》已具有邏輯主義基本思想的大概輪廓,后來,羅素與懷特海合著的三大卷《數(shù)學原理》是邏輯主義的權(quán)威性論著.按照羅素的觀點,“數(shù)學就是邏輯”,全部數(shù)學可以由邏輯推導出來：數(shù)學概念可以借助于邏輯概念來定義,數(shù)學定理可以由邏輯公理按邏輯規(guī)則推導出來.至于邏輯的展開,則是依靠公理化方法進行,即從一些不定義的邏輯概念和不加證明的邏輯公理出發(fā),通過符號演算的形式來

51、建立整個邏輯體系.為了避免悖論,羅素創(chuàng)制了一套“類型論”,并進一步論述了關于命題函數(shù)的分支類型論,引進了重要的“約化公理”.但羅素和懷特海的體系一直是不完善的,在很多細節(jié)上不清楚.,直覺主義： 克羅內(nèi)克和龐加萊是先驅(qū).布勞威爾開創(chuàng)了直覺主義學派.1907年,布勞威爾在《論數(shù)學基礎》中搭建了直覺主義數(shù)學的框架,1912年以后他又大大發(fā)展了這方面的理論.直覺主義的基本思想是：數(shù)學獨立于邏輯,數(shù)學的基礎是一種能使人認識“知覺單位”1

52、以及自然數(shù)列的原是直覺.堅持數(shù)學對象的構(gòu)造性定義,是直覺主義哲學的精髓.按照這種觀點,要證明任何數(shù)學對象的存在,必須同時證明它可以用有限的步驟構(gòu)造出來.因此,直覺主義不承認僅使用反證法的存在性證明.在集合論中直覺主義也只承認可構(gòu)造的無窮集合,這就排除了“所有集合的集合”那樣的矛盾集合的可能性.直覺主義關于有限的可構(gòu)造性的主張導致了對古典數(shù)學中普遍接受的“排中律”的否定,這是直覺主義的重要缺陷.,形式主義： 希爾伯特為