[學習]概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙大四版第二章2講

1、離散型隨機變量,,,設(shè)X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是 x1, x2 , … .,為了描述隨機變量 X ，我們不僅需要知道隨機變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個值的概率.,,這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.,,從中任取3 個球,取到的白球數(shù)X是一個隨機變量,X可能取的值是0,1,2,取每個值的概率為,例1,且,一、離散型隨機變量概率分布的定義,一般地，我們給出如下定義:,其中 (k=1,2, …)

2、滿足：,（2）,用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率函數(shù),,解: 依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):,a≥0,從中解得,欲使上述函數(shù)為概率函數(shù),應(yīng)有,二、表示方法,（1）列表法：,（2）圖示法,（3）公式法,X~,三、舉例,例3. 某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.,解： X可取0、1、2為值,P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18,P(X =2)=

3、(0.9)(0.9)=0.81,且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1,常常表示為：,這就是X的概率分布.,例4. 某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X 的概率函數(shù).,解: 顯然，X 可能取的值是1,2,… ，,P(X=1)=P(A1)=p,,為計算 P(X =k )， k = 1,2, …，,Ak = {第k發(fā)命中}，k =1, 2, …，,設(shè),于是,,可見,這就是

4、求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù).,P(X=1)=P(A1)=p,,Ak = {第k發(fā)命中}，k =1, 2, …，,設(shè),于是,若隨機變量X的概率函數(shù)如上式，則稱X具有幾何分布.,不難驗證:,,例5. 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等. 以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求X的概率分布.,解: 依題意, X可取值0, 1, 2,

5、 3.,P(X=0)=P(A1)=1/2,,,,,,,,路口1,路口2,路口3,,X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù),即,不難看到,X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù),解：每個分子的運動是相互獨立的，在左邊還是右邊是等可能的, 概率都是0.5.,例6. N個可以辨認的分子，在一容器內(nèi)自由運動，如今從中隔開，觀察左邊分子的個數(shù)，試求其概率分布.,設(shè)左邊分子的個數(shù)為X，,我們來求X取每個值的概率.,X可取0,1,…,N

6、為值，,設(shè)左邊分子的個數(shù)為X，,P(X=k)=,k=0,1,…,N,X可取0,1,…,N為值，,共N個分子,,某固定k個分子在左端，其余N-k個分子在右端的概率是,(0.5)k(0.5)N -k,左端有k個分子的所有情況數(shù)為從N個不同元素中取k個的組合，即 種.,于是,只要知道了隨機變量的概率分布，就可以計算與該隨機變量有關(guān)的事件的概率.,可以驗證：,例7. 某加油站替公共汽車站代營出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租

7、公司得到3元. 因代營業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費60元. 設(shè)每天出租汽車數(shù) X是一個隨機變量，它的概率分布如下：,求因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當天的額外支出費用的概率.,分析：加油站代營每出租一輛車，可得3元.,每天出租汽車數(shù)為X，因代營業(yè)務(wù)得到的收入為3 X元.,每天加油站要多付給職工服務(wù)費60元，即當天的額外支出費用.,因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為：,P{3X>60},即

8、 P{X>20},注意到,也就是說，加油站因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為0.6.,P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6,,二 常見離散型隨機變量 的分布律,,,設(shè)隨機變量 X 只可能取0與1兩個值 , 它的分布律為,則稱 X 服從 (0—1) 分布或兩點分布.,1.兩點分布,,例：從全國的新生兒中隨機抽取一個，記錄其性別值Y(0表示男，1表示女)，則Y服從0

9、—1分布。P{Y=0}表示男孩的概率。,將試驗 E 重復進行 n 次, 若各次試驗的結(jié)果互不影響 , 即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果, 則稱這 n 次試驗是相互獨立的, 或稱為 n 次重復獨立試驗.,(1) 重復獨立試驗,2.二項分布,(2) n 重伯努利試驗,實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將硬　　　幣拋 n 次,就是n重伯努利試驗.,實例2 拋一顆骰子n次,觀察是否 “出現(xiàn) 1 點”,

10、 就　　　是 n重伯努利試驗.,(3) 二項概率公式,且兩兩互不相容.,稱這樣的分布為二項分布.記為,,二項分布的圖形,,例8 已知一大批產(chǎn)品的一級品率為0.2，現(xiàn)從中隨機地抽查20只，求20只元件中恰有k(k=0,1,2…,20)只為一級品的概率。解：不放回抽樣，因元件數(shù)量大，抽取數(shù)目小，可以作放回抽樣處理。 設(shè)20只元件的一級品數(shù)為X, 則X ～b(20,0.2),,,圖示概率分布,3 泊松分布(Poiss

11、onDistribution),,泊松分布的圖形,,泊松分布的背景及應(yīng)用,二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi), 其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布.,,在生物學、醫(yī)學、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學及公用事業(yè)的排隊等問題中 , 泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布.,,

12、電話呼喚次數(shù),,交通事故次數(shù),商場接待的顧客數(shù),地震,火山爆發(fā),特大洪水,,離散型隨機變量的分布,兩點分布,二項分布,泊松分布,幾何分布,二項分布,小結(jié),對于離散型隨機變量，如果知道了它的概率函數(shù),也就知道了該隨機變量取值的概率規(guī)律. 在這個意義上，我們說,這一講，我們介紹了離散型隨機變量及其概率分布.,離散型隨機變量由它的概率函數(shù)唯一確定.,下一講，我們將向大家介紹另一種類型的隨機變量----連續(xù)型隨機變量的描述方法.,有趣的幻方,

13、幻方起源于我國，相傳，遠古時有神龜浮現(xiàn)于洛水，背上有按規(guī)律排布的花點，謂之洛書，后世人稱九宮圖，楊輝稱九宮圖以及由此而演生的類似數(shù)表為縱橫圖。此后，我國陸續(xù)有一些數(shù)學家，編制出了行列更多的縱橫圖。傳至歐洲后，也引起了人們極大的興趣，進而又不局限于方陣排列，出現(xiàn)了排列于圓、三角形等圖形上的數(shù)字排布圖。但這些都是作為一種益智游戲而進行研究的。 近代，一些學者深入研究了幻方的編造原理和其中蘊涵的數(shù)學關(guān)系，當在電子計算機、圖論等方面有了一些應(yīng)

14、用之后，更引起了人們的注意，成為組合數(shù)學的研究內(nèi)容。,有趣的幻方,發(fā)現(xiàn)我的奇妙了嗎?6174,,練習： 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修工人 (工人配備多了就浪費 , 配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況) ,問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.0