微積分在經濟分析活動中的應用

1、科技信息高校理科研究微積分在經濟分析活動巾硇應用青海大學財經學院旅游公共管理系向菊敏[摘要]微積分作為數學知識的基礎，是學習經濟學的必備知識。本文著重討論了微積分在經濟學中最基本的一些應用，計算邊際成本、邊際收入、邊際利潤并解釋其經濟意義；尋求最小生產成本或制定獲得最大利潤的一系列策略。[關鍵詞]微積分邊際分析彈性成本收入利潤最大值最小值一、導數在經濟分析中的應用1、邊際分析在經濟分析中的應用(1)邊際需求與邊際供給需求函數Q=f(p)

2、在點p處可導(其中Q為需求量，P為商品價格)，則其邊際函數Q’=fp)稱為邊際需求函數，簡稱邊際需求，f)稱為當價格為po時的邊際需求，其經濟意義為：當價格達到P。時，如果價格上漲一個單位，則需求將相應減少r(po)個單位。供給函數Q=QfP)可導(其中Q為供給量，P為商品價格)，則其邊際函數QIQ)稱為邊際供給函數，簡稱邊際供給，Q’(稱為當價格為po時的邊際供給。其經濟意義為：當價格達到P。時，如果價格上漲一個單位，則供給增加Q’(

3、po)個單位。(2)邊際成本函數總成本函數C=C(Q)=Cnct(Q)；平均成本函數=c(Q)=C(Q)／Q；c『_c’(Q)稱為邊際成本函數，c’(Q0)稱為當產量為Q。時的邊際成本，其經濟意義為：當產量達到Q。時，如果增減一個單位產品，則成本將相應增減c’(Q0)個單位。(3)邊際收益函數總收益函數R=R(Q)，平均收益函數=R(Q)／Q，邊際收益函數RI_Rt(Q)，簡稱邊際收益，R’(Qo)稱為當商品銷售量為Q。時的邊際收益，經

4、濟意義為：當銷售量達到o0時，如果增減一個單位產品，則收益將相應地增減R。(Q0)個單位。(4)邊際利潤函數利潤函數L=L(Q)=R(Q)一c(Q)，平均利潤函數=L(Q)=L(Q)／Q，邊際利潤函數=L’(Q)=(Q)一c’(Q)，L’(Q0)稱為當產量為Qo時的邊際利潤，其經濟意義是：當產量達到Q。時，如果增減一個單位產品，則利潤將相應增減L。(Q個單位。例1某企業(yè)每月生產Q(噸)產品的總成本c(千元)是產量Q的函數，C(Q)=Q2

5、lOQ20，如果每噸產品銷售價格2萬元，求每月生產1O噸、15噸、2O噸時的邊際利潤。解：每月生產。噸產品的總收入函數為：R(Q)=2OQL(Q)=R(Q)一c(Q)=20Q一(Q2lOQ2O)=Q3OQ2OL’(Q)=(一Q3OQ2O)一2Q3O則每月生產10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為L’(10)一2Z1030=10(千元／噸)；L’f15)=一2X1530=0(千元／噸)；L’f2O)：一2X2030=一10(千元／噸)。以

6、上結果表明：當月產量為10噸時，再增產1噸，利潤將增加l萬元；當月產量為15噸時，再增產1噸，利潤則不會增加；當月產量為2O噸時，再增產1噸，利潤反而減少1萬元。顯然企業(yè)不能完全靠增加產量來提高利潤，那么保持怎樣的產量才能使企業(yè)獲得最大利潤呢2、最大值與最小值在經濟問題中的應用最優(yōu)化問題是經濟管理活動的核心，各種最優(yōu)化問題也是微積分中最關心的問題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤最大，費用最省等等。下面介紹函數的最值在

7、經濟效益最優(yōu)化方面的若干應用。(1)最低成本問題例2設某廠每批生產某種產品X個單位的總成本函數為c㈤=mx一nxpx(常數mO，n0，p0)，①問每批生產多少單位時，使平均成本最?、谇笞钚∑骄杀竞拖鄳倪呺H成本。解：①平均成本(X)==m)(2_nxp，‘(x)=2mx—nX令‘(x)=0，得x=一，而”(x)=2m0。所以，每批生產個單位時，平均成本最小。②最小平均成本=m(2nXp=一一Pmm／4Inm，又Z斗mc’(x)=3mx

8、E2nxp，C’()=3m(一)L2nP一p，所以，最小mmZlrl4m平均成本等于其相應的邊際成本。(2)最大利潤問題例3設某廠每批生產某種商品Q單位的費用為C(Q)=5Q2OO(元)，得到的收益是R(Q))=lOQ一0OlQ(元)，問每批生產多少單位時利潤最大最大利潤是多少解：產品的費用函數C(Q)=5Q200收益函數R(Q)=lOQ—OOlQ則利潤函數L(Q)=R(Q)一c(Q)=一OOlQ~5Q2OOL’(Q)=一0O2Q5令L

9、‘(Q)：0得Q=25oLtfQ)一0021，說明當P=6時，價格上漲1％，需求減少12％，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。3、收益彈性收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積，即R=PQ=Pf(p)，R’=p)(p)=f(p)(1f))=f(p)(1—11)，所以，收益彈性為蓋爭=R’(P)(P／R(P))=(1一)=l一這樣，就推導出收益彈性與需求彈性的關系是：在任何價格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于1。(1)若qo即價格上漲(或下

10、跌)1％，收益增加(或減rJr少)(1q；(2)若q1，則0簡寫為：maxz=ex使得Axe0葺荀i人ConstrainedMax[z，2x13x2≤100050，X1~23010，x2≤20010，xl，x2)]得z’=2530，XI1=240，x2=190從而do=zI_zo=120將z。，d。，d，d，d，輸人(△)程序ConstrainedMax『，2x13xz50h~100050xl10h~23010，xz10h≤20010，

11、z一120h≥2410，≤1)，xl，X2，l1得上述模糊線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為x~=235X2“=185=O5，因此甲類產品235套，乙類產品185套時，能獲得最大利潤z=5x7x=2470(萬元1。對比經典線性規(guī)劃問題f4)，雖然甲類產品多生產5套，乙類產品多生產5套，總費用超出25萬元，但利潤提高了6O萬元。4結束語用Mathematiea軟件求解模糊線性規(guī)劃問題使運算變得簡潔。此外，Mathematica軟件在求解多目標模糊線性

12、規(guī)劃、有模糊系數的線性規(guī)劃問題中也能發(fā)揮其超強的計算功能。因此學好運用好Mathematica軟件，對處理生產、管理等經濟問題有很大幫助。參考文獻[1]胡淑禮模糊數學及其應用[M]四川大學出版社，1994年[2]徐安農Mathematica數學實驗電子工業(yè)出版社，2006年(上接第99頁)其固定成本為C。=1000元，產品單價規(guī)定為500元。假設產銷平衡，問生產量為多少時利潤最大，并求出最大利潤。解：總成本函數為c(x)=J0(1002

13、t)dtc(0)=100xx21000總收益函數為R(x)=500x總利潤L(x)=R(x)一c(x1=400x—x1000，L=400—2x，令L『_O，得x=200，因為L”(200)0。所以，生產量為200單位時，利潤最大。最大利潤為L(200)=400200—2OO2—1O0O=39O0O(元)。在這里我們應用了定積分，分析出利潤最大，并不是意味著多增加產量就必定增加利潤，只有合理安排生產量，才能取得最大的利潤。綜上所述，對企業(yè)

14、經營者來說，對其經濟環(huán)節(jié)進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具，不但可以給企業(yè)經營者提供精確的數值，而且在分析的過程中，還可以給企業(yè)經營者提供新的思路和視角，這也是數學應用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個合格的企業(yè)經營者，應該掌握相應的數學分析方法，從而為科學的經營決策提供可靠依據。參考文獻[1]趙樹塬經濟應用數學基礎(一)微積分中國人民大學出版社，2002[2]朱來義高等學校經濟管理學科數學基礎微積分高等教育出版社2003[3]吳贛