自由曲面最優(yōu)參數(shù)化研究.pdf

1、自由曲線曲面造型技術(shù)一直是計算機圖形學和計算機輔助設(shè)計的重點，在計算機動畫、計算機游戲、人機交互及虛擬現(xiàn)實應(yīng)用中起重要作用。曲面參數(shù)化的好壞很大程度上影響曲面紋理映射、曲面可視化、曲面離散算法的結(jié)果[11-14]。自由曲面具有二維參數(shù)域到三維空間域的有理多項式映射關(guān)系。通過曲面的重新參數(shù)化[11-14]，曲面可以得到無窮多的不同的參數(shù)化表達。因此，根據(jù)實際應(yīng)用可以選擇出合適的參數(shù)化得到最優(yōu)結(jié)果。
　　非均勻有理B樣條(NURBS)

2、因其數(shù)學模型表達的統(tǒng)一而成為長期以來使用最廣泛的曲面表達形式。但其控制網(wǎng)格嚴格要求矩形網(wǎng)格形式的拓撲結(jié)構(gòu)，因此在曲面造型過程中，需要額外添加控制頂點來滿足其拓撲需求，這既帶來了更多的控制頂點數(shù)據(jù)，又給后期曲面算法的設(shè)計和處理引入更高的代價。為了突破拓撲限制帶來的局限，Sederberg等首次根據(jù)NURBS曲面推廣定義了T樣條曲面，同時，該曲面引入了T節(jié)點，使得曲面控制網(wǎng)格拓撲結(jié)構(gòu)不再是傳統(tǒng)的矩形結(jié)構(gòu)，能夠在保持曲面幾何造型的同時，去掉多

3、余的控制頂點[48]。
　　本文從自由曲面參數(shù)化中幾個重要的特性出發(fā)，使用自由曲面的微分幾何知識，給出了自由曲面參數(shù)化中正交性、保面積性和保角性的數(shù)學定義，針對不同自由曲面如Bézier曲面、NURBS曲面、T樣條曲面的特點，分別討論了滿足特定參數(shù)化特性的約束條件及優(yōu)化方法。對于曲面參數(shù)化正交特性，以Bézier曲面為例，推理并討論了其需要滿足的數(shù)學公式。發(fā)現(xiàn)了在正交特性下與控制頂點相關(guān)的約束條件[69]，得出了兩個參數(shù)方向上雙1

4、次為長方形的結(jié)論以及雙2次的構(gòu)造算法。最后討論了擴展到任意次數(shù)Bézier曲面正交參數(shù)化的構(gòu)造方法。針對曲面參數(shù)化保角特性，以NURBS曲面為例，介紹了幾種NURBS曲面參數(shù)化中常用的變換，然后詳細地推導了基于微分第一基本形式的保角能量，并使用辛普森法則給出其保角能量的數(shù)值估計。隨后介紹了對給定的NURBS曲面如何使用一般雙線性變換得到其最優(yōu)保角參數(shù)化，最后展示了算法的流程和應(yīng)用結(jié)果。在曲面的保面積重新參數(shù)化方面，以T樣條曲面為例，給出