四類波動系統(tǒng)的定性分析與數值算法.pdf

1、非線性系統(tǒng)是描述非線性問題的主要模型.在非線性系統(tǒng)中,波動系統(tǒng)的理論研究是其中一個重要內容.而波動系統(tǒng)理論研究的一個主要環(huán)節(jié)就是尋求系統(tǒng)的可解條件.這種可解條件的方法研究作為非線性科學中的前沿課題和熱點問題極具挑戰(zhàn)性.目前雖然已經提出和發(fā)展了許多判斷可解性的方法,但由于分析波動系統(tǒng)沒有也不可能有統(tǒng)一而普遍適用的方法,因此繼續(xù)尋找一些可行的方法依然是一項極有價值的工作.
　　本文在對非線性波動系統(tǒng)現(xiàn)有判斷可解條件方法進行了較為細致討

2、論的基礎上,對四類有物理背景的波動系統(tǒng)的可解性和數值解從定性角度進行了深入的研究.結論如下:
　　1.提出了一種有井深的位勢井方法與改進的凹函數法相結合的整體可解性判斷方法.具非線性源和非線性阻尼的耦合基爾霍夫波動系統(tǒng)存在多個復雜結構項,已有的可解性判斷方法大都是基于較小初值討論的,而基于較大初值的處理方法只適用于結構簡單的波動系統(tǒng).因此本文提出了針對結構復雜的基爾霍夫波動系統(tǒng)的可解性判斷方法,并利用基于近似解理論和分析手段相結合

3、的方法對系統(tǒng)的整體存在,非整體存在及衰減行為進行了不同能量級別的分析.為研究結構更復雜的波動系統(tǒng)的可解性條件和數值求解提供了可行方案;
　　2.利用弱反耗散流微調能量中的勢能部分,提出了一種基于記憶性能的耦合基爾霍夫型波動系統(tǒng)的可解判斷方法.已有的此類系統(tǒng)的可解判斷方法大都是基于無記憶項形式展開的,系統(tǒng)的輔助泛函在設定中有明確的表達形式,而在本文粘彈性波動系統(tǒng)中,記憶項具有時滯性特征,和其它結構項沒有明顯的關聯(lián).為了適應課題的需要

4、,設計該反耗散方法,并對上述方法進行了理論驗證,結果表明所設計的反耗散方法能有效的找到系統(tǒng)的高能爆破條件,并且記憶項在判斷可解性的正則式中起到了好的調節(jié)作用;
　　3.提出了一種使用變分法,尺度放縮法,改進的凹函數理論相結合的廣義Bq波動系統(tǒng)的可解判斷方法,基于類最優(yōu)理論劃分了能級空間.已有的Bq波動系統(tǒng)的可解判斷方法大都是基于對源項條件較強限制下實現(xiàn)的,這種設計方法主要是利用解的存在原理給出源項的約束條件,利用非存在性原理處理源

5、項,可解性條件并不要求一致.在本文的 Bq波動系統(tǒng)中,源項的限制是統(tǒng)一的,不能分開來討論.因此本文提出了針對統(tǒng)一源項的可解性條件判斷方法,對一定初值條件下的Bq波動系統(tǒng)進行了最佳條件的處理.將已有結果與本文結果進行對比,表明所設計的方法是所有能量水平分類中最優(yōu)的;
　　4.利用有限差分方法建立了一種基于待定系數的守恒格式,從理論上證明了該守恒格式具有良好的性能.已有的Bq波動系統(tǒng)針對高階色散和非線性源給出離散格式時,不考慮數值解的

6、理論性質,這種離散方法主要對系統(tǒng)各項進行差分變換,而在本文Bq波動系統(tǒng)中,守恒格式對各項的處理要求較高.為此本文提出了針對能量守恒格式的有限差分待定系數法,對高階色散和非線性源的差分形式進行恰當處理,并對上述方法進行了理論分析.結果表明所設計的有限差分方法能有效的找到復雜結構項的差分形式,得到較好的收斂階,并有助于建立解的穩(wěn)定性性質;
　　5.提出了一種基于位勢井理論與乘子法及凹函數法相結合的判斷系統(tǒng)可解性的方法,找到了非線性耗散