一維逆時熱傳導問題的數(shù)值解.pdf

1、在很多工程應用領域里，人們常常會遇到熱傳導方程的逆時問題．所謂逆時問題就是由某一時刻的溫度場來求該時刻以前的溫度分布。由于該問題是不適定的，求解此問題就需要利用正則化方法來求解。處理該問題的一個常用到的方法就是把原問題轉化為求解第一類線性積分方程的問題，再利用正則化方法求解來解此方程。
　　 本文考慮熱傳導模型對應的逆時問題的數(shù)值求解。由于正向熱傳導問題的溫度場是隨時間呈現(xiàn)指數(shù)形式衰減的，因此要使逆時熱傳導問題能得到穩(wěn)定和收斂的

2、解，必須對初始溫度函數(shù)u(x，0)附加某些先驗條件。
　　 本文研究了兩類問題：一是當系數(shù)a(x)為常系數(shù)時如何求解初始溫度g(x)．對此問題我們把正則化方程轉化為相對應的弱耦合方程組，再用一種線性分裂的迭代的形式來數(shù)值求解，而不是用常規(guī)的方法直接求解。而對方程中的正則化參數(shù)，本文則利用近年來發(fā)展起來的模型函數(shù)法方法來近似求解Morozve方程，以數(shù)值近似求解正則化參數(shù)。同時我們還分析了初始溫度g(x)滿足什么樣的先驗條件才可以

3、得到解的收斂速度的估計，本文的第四章給出了相應的數(shù)值算例，取得了令人滿意的數(shù)值結果。我們的數(shù)值結果表明，借助適當?shù)倪x取正則化參數(shù)，即使初始溫度場的震蕩性和光滑性較弱，也能獲得相對較好的重組結果，同時也驗證了用迭代的形式求解的有效性。
　　 二是考慮a(x)是變系數(shù)的情形，初始溫度g(x)的反演方案。在將此問題轉化為第一類線性積分方程時，我們面臨的一個問題就是如何給出積分核的顯式形式。一般而言該函數(shù)只能通過數(shù)值方法求解。本文提出了

4、一種確定核函數(shù)的級數(shù)展開法，為數(shù)值反演提供了理論基礎。
　　 本文的工作總共分成四部分。首先介紹了逆時問題的背景，并將此問題歸結于第一類算子方程的求解．其次，針對常系數(shù)熱傳導問題，根據(jù)其不適定性，利用Tikhonov正則化方法來求解（在求解過程中采用把正則化方程轉化為對應的弱耦合方程組，進而利用迭代格式求解此方程組），而其中的正則化參數(shù)α是利用模型函數(shù)的方法來求解相容性原理后驗確定的．該方法可以以很高的精度確定正則化參數(shù)，這是近