應(yīng)用山路引理求證微分方程解的存在性.pdf

1、微分方程解的研究一直以來(lái)都是人們最為關(guān)注的研究領(lǐng)域，大部分微分方程都是從實(shí)際問(wèn)題中抽象建模而成的，所以我們?cè)谘芯课⒎址匠虇?wèn)題的時(shí)候，討論其解的存在唯一性有著基礎(chǔ)性的意義。其中，關(guān)于非線(xiàn)性微分方程有無(wú)解，其解是否存在唯一，解的穩(wěn)定性如何，一直是個(gè)難題。微分方程邊值問(wèn)題的弱解。就是其相應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)。在線(xiàn)性方程情形，其弱解就是使相應(yīng)泛函取極小值，而在非線(xiàn)性方程情形，其相應(yīng)泛函可能既沒(méi)有上界，也沒(méi)有下界。范猛，王克[29]清晰地介紹Yoshi

2、zawa，Massera利用推廣的Brouwer型不動(dòng)點(diǎn)理論和Liapunov法等理論把微分方程周期解的存在性和解的有界性建立了聯(lián)系。 對(duì)于表征硬彈簧振動(dòng)和牛頓運(yùn)動(dòng)的Duffing方程的周期問(wèn)題，因涉及的領(lǐng)域廣泛，眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入研究，得到了一系列重要而深刻的結(jié)果[3]-[11]。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展，人們提出了許多研究微分方程周期解存在性的方法和工具。如抽象代數(shù)引理和傅里葉級(jí)數(shù)，非線(xiàn)性泛函分析，臨界點(diǎn)理論，迭合度理

3、論，最優(yōu)控制論，大范圍反函數(shù)理論等。 1973年，Ambeosetti，Rabionowitz和Ekeland提出著名的山路引理，山路引理給出了求證其對(duì)應(yīng)泛函的臨界點(diǎn)的方法，從而成為研究非線(xiàn)性微分方程邊值問(wèn)題的重要引理。本文主要運(yùn)用山路引理的方法，分別嘗試證明Duffing方程2π-周期解的存在性和非共振橢圓型方程解的存在性，使得常微分方程中的證明方法和理論得以向橢圓型方程領(lǐng)域擴(kuò)展。 本文的主要研究成果是： 1.

4、利用變分方法將一類(lèi)無(wú)阻尼Duffing方程的周期邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的非線(xiàn)性泛函的臨界點(diǎn)問(wèn)題，并利用山路引理證明這類(lèi)Duffing方程2π周期解的存在性。 設(shè)條件(I)-(IV)滿(mǎn)足：(I)g(u)∈C(R；R)并存在1≤a2)，使｜g(u)｜≤a+b｜u｜a，a>0，b>0。(II)存在δ∈(0，1/2)及M>0，使G(u)=∫u0g(s)ds≤δug(u)，A｜u(t)｜≥M，t∈[0，2π]。

5、 (III)下面兩個(gè)極限式成立，lim/u→0g(u,t)/u=0，對(duì)(u,t)∈R×[0,2π]一致；lim/u→+∞/g(u,t)=+∞，對(duì)(u,t)∈R×[0,2π]一致。(IV)e(t)有界。則Duffing方程u(t)+g(u)=e(t)存在2π-周期解。 2.證明一類(lèi)具有Dirichlet邊界條件的非共振二階橢圓型方程在(L2(Ω))n空間上弱解的存在性問(wèn)題。本文考慮Laplace算子的特征值問(wèn)題，首先在每個(gè)有限維