一類非光滑電路的快慢動(dòng)力學(xué)行為分析.pdf

1、非線性電路作為非線性科學(xué)研究的一個(gè)重要分支,包含著豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。由于電路模型在實(shí)驗(yàn)上比較容易構(gòu)建,同時(shí)也可以用于分析混沌同步、混沌控制和模擬保密通信,其動(dòng)力學(xué)行為一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)課題之一。迄今為止,各國(guó)學(xué)者在非線性電路方面取得了許多研究成果,然而實(shí)際電路系統(tǒng)中存在著開(kāi)關(guān)、閾值、脈沖控制等大量非光滑因素,同時(shí),由于電路參數(shù)的可調(diào)性較大,非線性電路的動(dòng)力學(xué)行為可能顯示出多時(shí)間尺度系統(tǒng)的快慢效應(yīng),因此,有必要詳細(xì)研究非光滑電路系統(tǒng)的

2、快慢效應(yīng)?；谶@樣的背景,論文著重探討了一類由分段線性引起的非光滑電路在兩時(shí)間尺度下的快慢動(dòng)力學(xué)行為。
　　 非線性電容混沌電路的非線性因素來(lái)自于電容元件上電量一電壓關(guān)系的分段線性,這使得整個(gè)電路的動(dòng)力學(xué)行為在分段點(diǎn)發(fā)生質(zhì)的變化,成為一個(gè)非光滑系統(tǒng)。本文通過(guò)數(shù)值計(jì)算給出了系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔圖和一系列典型的相軌跡,指出該系統(tǒng)的分岔過(guò)程呈現(xiàn)出非光滑分岔的典型特征,即具有混沌帶間隔的加周期分岔序列。由于系統(tǒng)中含有分段光滑的函數(shù),所以

3、其向量場(chǎng)連續(xù)但非光滑。運(yùn)用微分包含理論引入輔助函數(shù)(廣義Jacobian矩陣),從理論上分析了系統(tǒng)在向量場(chǎng)臨界線處發(fā)生的非光滑分岔,確定了其分岔類型為多次穿越分岔(multiplecrossing bifurcation),該分岔也可看作光滑系統(tǒng)中兩種常見(jiàn)分岔,轉(zhuǎn)點(diǎn)分岔(turningpoint bifurcation)和Hopf分岔的復(fù)合分岔。分析得出,其中Hopf分岔的主要作用是產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán),即穩(wěn)定的吸引子,而轉(zhuǎn)點(diǎn)分岔的主要作用

4、則是使系統(tǒng)的相軌跡在兩個(gè)對(duì)稱的吸引子之間來(lái)回振蕩。同時(shí)從分岔的角度解釋了系統(tǒng)周期解產(chǎn)生的機(jī)理及其動(dòng)力學(xué)行為隨參數(shù)變化而發(fā)生的諸如振蕩加快和加周期分岔等現(xiàn)象,且理論分析與數(shù)值模擬的結(jié)果基本吻合。
　　 針對(duì)三階自治蔡氏電路,討論了該非光滑系統(tǒng)在不同時(shí)間尺度下的快慢動(dòng)力學(xué)行為。在一定的參數(shù)條件下,系統(tǒng)的周期解為對(duì)稱尖峰解,表現(xiàn)出明顯的快慢效應(yīng)。根據(jù)快慢分析法,按照狀態(tài)量變化的快慢將全系統(tǒng)分為快慢兩個(gè)子系統(tǒng),并將慢變量看作快子系統(tǒng)的控

5、制參數(shù),進(jìn)而討論了快子系統(tǒng)的非光滑分岔,確定了其分岔類型為單次穿越分岔(single crossing bifurcation)。也就是說(shuō)快子系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性會(huì)在臨界線處突然發(fā)生變化,導(dǎo)致全系統(tǒng)的相軌跡在臨界線處發(fā)生轉(zhuǎn)折,并在慢變量的調(diào)節(jié)下交替進(jìn)行著不同時(shí)間尺度的快慢運(yùn)動(dòng),從而形成周期尖峰解(spiking)。
　　 廣義蔡氏電路具有十分豐富的動(dòng)力學(xué)行為和廣泛的應(yīng)用背景。本文按非光滑和光滑兩種情形討論了四階廣義蔡氏電路的動(dòng)力學(xué)

6、行為及其分岔。對(duì)于非光滑四階蔡氏電路,給出了全系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為隨參數(shù)變化的演化模式,得到了該系統(tǒng)在慢變效應(yīng)下的對(duì)稱簇發(fā)解(1)urstin個(gè))和混沌吸引子。討論了快子系統(tǒng)非光滑分岔的類型,即多次穿越分岔。結(jié)合快慢分析法探討了非光滑對(duì)稱簇發(fā)解的產(chǎn)生機(jī)制,并從快子系統(tǒng)的平衡點(diǎn)特征值的性質(zhì)出發(fā),解釋了參數(shù)變化導(dǎo)致的加周期分岔現(xiàn)象。作為比較,在原電路模型基礎(chǔ)上加以修改,得到光滑廣義蔡氏電路模型,討論了該光滑系統(tǒng)的快慢動(dòng)力學(xué)行為,分析并指出其簇發(fā)解

7、的類型分別為焦點(diǎn).焦點(diǎn)型Fold/Fold和Hopf/Fold簇發(fā)。根據(jù)Hopf分岔理論解釋了不同參數(shù)條件下同種類型的簇發(fā)解的區(qū)別,并從系統(tǒng)向量場(chǎng)的不對(duì)稱性出發(fā),指出并解釋了文中簇發(fā)解的特殊之處。通過(guò)與相似的光滑動(dòng)力系統(tǒng)作比較可知,非光滑系統(tǒng)的分岔與向量場(chǎng)的分界面的位置及其兩側(cè)平衡點(diǎn)的性質(zhì)密切相關(guān)。
　　 周期激勵(lì)下的非光滑電路,包含著更為豐富的非線性特性。為此,我們探討了不同外激勵(lì)幅值和頻率下該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。在低頻激勵(lì)下,

8、即外激勵(lì)頻率在數(shù)量級(jí)上遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為表現(xiàn)出明顯的快慢效應(yīng)。當(dāng)激勵(lì)頻率增加到和系統(tǒng)的固有頻率在同一量級(jí)時(shí),則快慢效應(yīng)消失。對(duì)于文中所討論的系統(tǒng),與頻率變化對(duì)整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響相比,外激勵(lì)強(qiáng)度的變化則沒(méi)有引起系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為演變的根本性變化。在上述情形中,本文著重討論低頻激勵(lì)下系統(tǒng)的簇發(fā)行為,并指出了非光滑分岔在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為演化過(guò)程中的重要作用。對(duì)于這樣一個(gè)非自治電路,先引入“廣義自治系統(tǒng)”的概念,將其看作形